Fig. 1  Inundación en el río Cuiabá, Mato Grosso, Brasil, el 10 de enero de 1995. UNA ECUACIÓN ADIMENSIONAL DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN PARA FLUJOS DE AVENIDA Victor M. Ponce [201214] Resumen. Se muestra que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial adimensional de tercer orden, de convección-difusión-dispersión de ondas de inundación son solamente funciones de los números de Froude y Vedernikov. El número de Froude es la relación entre la velocidad media del flujo y la celeridad de la onda dinámica relativa. El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades de las ondas cinemática y dinámica relativas. La ecuación de convección-difusión-dispersión puede ser útil en el análisis de problemas de propagación de ondas de avenida en el cual tanto la difusión como la dispersión son significativas. 1. INTRODUCCIÓN El modelo de convección-difusión de ondas de avenida [Hayami, 1951; Dooge, 1973] se mejora aquí con la adición del término de dispersión, de tercer orden, constituyendo en efecto un modelo de convección-difusión-dispersión [Ferrick et al., 1984]. Con la técnica dimensional apropiada, se puede demostrar que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial resultante son una función sólo de los números adimensionales de Froude y Vedernikov. Esto subraya la importancia de estos dos números para describir la dinámica de la propagación de ondas de avenida. 2. ECUACIÓN DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN El modelo de convección-difusión de ondas de avenida se debe originalmente a Hayami [1951]. Dooge [1973] mejoró el modelo de Hayami al incluir la inercia en la formulación del coeficiente de difusión, dando como resultado un modelo de convección-difusión con inercia. Dooge et al. [1982] generalizó el modelo de convección-difusión con inercia para cualquier tipo de fricción y forma de sección transversal. Ponce [1991] expresó el coeficiente de difusión en términos del número de Vedernikov. Ferrick et al. [1984] derivó la ecuación lineal de tercer orden más completa, que incluye procesos de convección, difusión y dispersión, como sigue: Qt + c Qx = ν Qxx + η Qxxx (1) en la cual Q = caudal, c = celeridad convectiva, ν = coeficiente de difusión, y η = coeficiente de dispersión. La celeridad convectiva, o velocidad de la onda de avenida se define como sigue [Seddon, 1900; Chow, 1959]:         dQ c = _____         dA (2) en la cual A = área de flujo. El coeficiente de difusión, o difusividad hidráulica, para la fricción de Chezy en canales hidráulicamente anchos es el siguiente [Dooge, 1973]:           qo              F 2 ν = ______ ( 1 - _____ )         2 So              4 (3) en la cual qo = descarga de ancho unitario, So = pendiente del fondo, y F = número de Froude, definido como sigue [Chow, 1959]:             uo F = __________        (g Do)1/2 (4) en la cual uo = velocidad media, Do = profundidad hidráulica, y g = aceleración gravitacional. En la mayoría de los casos de interés práctico, la profundidad hidráulica se puede aproximar por la profundidad de flujo yo. El coeficiente de dispersión, o dispersividad hidráulica, es el siguiente [Ferrick et al., 1984]:                   yo η = F 2 ( ______ ) v                  2So (5) Ponce [1991] ha expresado la celeridad convectiva en función de los números de Froude y Vedernikov, como se muestra en la Ec. 6. El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades relativas de las ondas cinemática y dinámica [Craya, 1952].                  V c = ( 1 + ____ ) uo                  F (6) Siguiendo a Dooge et al. [1982], Ponce [1991] expresó el coeficiente de difusión en términos del número de Vedernikov, generalizándolo para todos los tipos de fricción (turbulenta de Manning o Chezy, y laminar) y formas de sección transversal, incluyendo hidráulicamente ancha, triangular e inherentemente estable [Ponce y Porras, 1995]:          qo ν = ______ ( 1 - V 2 )         2 So (7) en la cual [Dooge et al. 1982; Ponce 1991]: V = ( β - 1 ) F (8) con β = exponente de la curva de gasto caudal-área Q = α Aβ. Dado qo = uoyo, y definiendo una longitud de canal de referencia Lo = yo /So [Lighthill y Whitham, 1955], el coeficiente de difusión es:           Lo ν = ( ____ ) uo ( 1 - V 2 )            2 (9) Además, con la Ec. 9, el coeficiente de dispersión es:            Lo η = ( ____ ) 2 uo ( 1 - V 2 ) F 2             2 (10) 3. ECUACIÓN ADIMENSIONAL DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN Para adimensionalizar la Ec. 1, elegimos variables adimensionales apropiadas tales que x' = x /Lo, y t' = t (uo /Lo). Entonces, la Ec. 1 se convierte en lo siguiente: Qt'  + c' Qx'  = ν' Qx'x'  + η' Qx'x'x' (11) en la cual c' = celeridad adimensional:                V c' = 1 + _____                F (12) ν' = difusividad adimensional:          1 ν' = ___ ( 1 - V 2 )          2 (13) y η' = dispersividad adimensional:          1 η' = ___ ( 1 - V 2 ) F 2          4 (14) Por lo tanto, se demuestra que los tres coeficientes de la ecuación adimensional de convección-difusión-dispersión (Ecs. 12 a 14) son sólo funciones de los números de Froude y Vedernikov. La calculadora en línea ONLINEDISPERSIVITY.PHP calcula las siguientes propiedades: (1) celeridad, (2) difusividad, y (3) dispersividad. La entrada se basa en las siguientes variables: (a) velocidad media uo, (b) profundidad hidráulica Do, que puede aproximarse como la profundidad de flujo yo, (c) pendiente de fondo del canal So, y (d) exponente β de la curva de gasto. 4. RESUMEN Se muestra que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial adimensional de convección-difusión-dispersión de ondas de avenida son funciones únicamente de los números de Froude y Vedernikov. El número de Froude es la relación entre la velocidad media del flujo y la celeridad de la onda dinámica relativa. El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades de las ondas cinemática relativa y dinámica relativa. La ecuación diferencial adimensional, de tercer orden, de convección-difusión-dispersión puede ser útil en el análisis de problemas de propagación de avenidas donde tanto la difusión como la dispersión sean significativas. REFERENCIAS Chow, V. T. 1959. Open-channel Hydraulics, McGraw-Hill. New York. Craya, A. 1952. The criterion for the possibility of roll wave formation. In Gravity Waves, Circ. 521, pp. 141-151, National Institute of Standards y Technology, Gaithersburg, MD. Dooge, J. C. I. 1973. Linear theory of hydrologic systems: Chapter 9. Technical Bulletin No. 1468, 327 pp., U.S. Department of Agriculture, Washington. D.C. Dooge, J. C. I., W. B. Strupczewski, y J. J. Napiorkowski. 1982. Hydrodynamic derivation of storage parameters of the Muskingum model. Journal of Hydrology, 54, 371-387. Ferrick, M. G., J. Bilmes, y S. E. Long. 1984. Modeling rapidly varied flow in tailwaters. Water Resources Research, 20(2), 271-289. Hayami, S., On the propagation of flood waves. 1951. Bulletin Disaster Prevention Reserach Institute, Kyoto University. Japan, 1, 1-16. Lightbill, M. J., y G. B. Whitman. 1955. On kinematic waves. I. Flood movement in long rivers. Proceedings of the Royal Society of London, A, 229, 281-316. Ponce, V. M. 1991. New perspective on the Vedernikov number. Water Resources Research, 27(7), 1777-1779. Ponce, V. M. y P. J. Porras. 1995. Effect of cross-sectional shape on free-surface instability. ASCE Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 121, No. 4, April, 376-380. Seddon, J. A. 1900. River hydraulics. 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