LA DISPERSIÓN EN EL TRÁNSITO DE AVENIDAS


Víctor M. Ponce1

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental, Universidad Estatal de San Diego, California, EE.UU.,  poncevm@gmail.com

Resumen 

Se utiliza una ecuación diferencial de tercer orden, de convección-difusión-dispersión, para el cálculo del tránsito de avenidas (Ferrick y otros, 1984) como base para el desarrollo de una ecuación adimensional de convección-difusión-dispersión. Esta ecuación revela que sus tres coeficientes son funciones únicamente de los números de Froude y Vedernikov, los dos pilares conceptuales del flujo no permanente en canales abiertos. El programa ONLINEDISPERSIVITY se utiliza para determinar el orden de magnitud de los coeficientes de difusión y dispersión.

Introducción

El enrutamiento de una inundación consiste del cálculo del movimiento de una onda de avenida (crecida) en el espacio y en el tiempo a lo largo de una corriente, río o canal. Las ecuaciones que rigen este proceso son las de conservación de la masa y del momento, conocidas como las ecuaciones de Saint-Venant (1871) (Chow, 1959; Ponce, 2014a). La solución conjunta de estas ecuaciones da como resultado una onda cinemático-dinámica mixta. En el tránsito de avenidas, a esta onda se la conoce comúnmente como "onda dinámica" (Fread, 1985).

La confirmación de que la contribución del término de inercia suele ser mínima llevó a Hayami (1951) a simplificar el problema del tránsito de avenidas combinando el conjunto de las dos ecuaciones de gobierno en una sola, con el espacio x y el tiempo t como variables independientes, y el caudal Q como variable dependiente. A esta ecuación se la denomina ecuación de convección-difusión. Ésta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la convección, de primer orden, y la difusión, de segundo orden. A este enfoque del cálculo del tránsito de avenidas se le conoce como la analogía de difusión de Hayami (Ponce, 2014b).

Ferrick y otros (1984) añadieron otro término a la ecuación de convección-difusión, creando así un tercer término, al que denominaron de dispersión. Así surgió la ecuación de convección-difusión-dispersión para el tránsito de avenidas. El trabajo de Ferrick fue mejorado por Ponce (2020), quien expresó la ecuación de convección-difusión-dispersión en forma adimensional. Además, Ponce expresó los coeficientes de la ecuación adimensional únicamente en términos de los números de Froude y Vedernikov, confirmando la sólida base teórica del flujo no permanente en canales abiertos (Ponce, 2023).

Este artículo se enfoca en la importancia de la difusión y la dispersión en el tránsito de avenidas en la ingeniería hidráulica. La calculadora en línea ONLINEDISPERSIVITY se utiliza para calcular la magnitud de los coeficientes de enrutamiento.

El término "dispersión" fue utilizado por Ferrick et al. (1984) para denotar el término de tercer orden en la ecuación diferencial que rige el flujo unidimensional no permanente en canales abiertos. Sin embargo, "dispersión" puede tener diferentes usos en diferentes campos. Por ejemplo, en la mecánica de fluídos, dispersión generalmente se refiere a la dispersión de masa. En este trabajo, utilizamos el término "dispersión" al modo de Ferrick et al. (1984), es decir, en referencia a la dispersión del momento en el flujo en canales abiertos.

Ecuación de convección-difusión-dispersión

La Tabla 1, Ecuación 1, muestra la ecuación de convección-difusión-dispersión. El coeficiente de convección es la celeridad de Seddon, conocida como la celeridad de la onda cinemática (Seddon, 1900; Ponce, 2014c). El coeficiente de difusión es la difusividad de Hayami (Hayami, 1951; Ponce, 2014b). El coeficiente de dispersión es la dispersividad de Ferrick (Ferrick y otros, 1984; Ponce, 2020).

Tabla 1.  Ecuación diferencial de convección-difusión-dispersión.
Ecuación

Qt + c Qx = ν Qxx + η Qxxx

(1)
Coeficiente de convección

       V
c = ( 1 + ____ ) uo
       F

(2)
Coeficiente de difusión

Lo            
ν =  ____ uo ( 1 - V2 )
  2              

 (3)
Coeficiente de dispersión
 Lo                 
     η = ( _______ ) 2 uo ( 1 - V2 ) F2
   2                  

(4)

Definición de variables.

Q = descarga, o caudal; A = área de flujo;

x = variable espacio; t = variable tiempo;

g = aceleración de la gravedad;

α = coeficiente de la curva de gasto descarga-área de flujo Q = α Aβ;

β = exponente de la curva de gasto descarga-área de flujo Q = α Aβ;

uo = velocidad media; yo = profundidad de flujo; So = pendiente de fondo del canal;

Lo = longitud de referencia del canal = yo /So;

F = número de Froude = uo / (g yo)1/2; V = número deVedernikov = (β - 1) F.

Ecuación adimensional de convección-difusión-dispersión

La Tabla 2, Ecuación 5, muestra la ecuación diferencial adimensional de convección-difusión-dispersión de las ondas de avenida (Ponce, 2020). Para lograr la adimensionalización, hemos utilizado la longitud de referencia del canal Lo, definida como la distancia en la que el flujo pierde una carga igual a su profundidad (ver penúltima linea en la Tabla 1) (Lighthill y Whitham, 1955; Ponce y Simons, 1977). Se muestra que los tres coeficientes adimensionales (Ecs, 6, 7, y 8) son funciones únicamente de los números de Froude y Vedernikov. Por lo tanto, se concluye que estos dos números constituyen los pilares del flujo no permanente en canales abiertos; juntos, describen y caracterizan el movimiento de las ondas.

Nótese que el coeficiente adimensional de convección c' (Ec. 6), también denominado celeridad adimensional de la onda cinemática, es, de hecho, el exponente de la curva de gasto descarga-area:  β = 1 + (V/F). Por lo tanto, β puede ser considerado como el parámetro más importante en el flujo unidimensional no permanente en canales abiertos (Ponce, 2023).

Tabla 2.  Ecuación diferencial adimensional de convección-difusión-dispersión.
Ecuación

Qt' + c' Qx' = ν' Qx'x' + η' Qx'x'x'

(5)
Coeficiente adimensional de convección

                V
   c' = 1 + ____
                F

(6)
Coeficiente adimensional de difusión

     1           
   ν' = ____ ( 1 - V2 )
       2             

 (7)
Coeficiente adimensional de dispersión
        1            
           η' = ___ ( 1 - V2 ) F2
      4         

(8)

Definición de variables.

x' = espacio adimensional = x /Lo; t' = tiempo adimensional = t (uo /Lo).

Análisis

La Tabla 3 muestra los resultados del programa ONLINEDISPERSIVITY. Se varió la velocidad uo (Col. 2), la profundidad yo (Col. 3), y la pendiente So (Col. 4), como se muestra en la tabla. El enfoque se centró en el caudal unitario (qo = uoyo) y la pendiente So (Col. 4), ya que estas variables están estrechamente relacionadas con los coeficientes de difusión (Ec. 3) y de dispersión (Ec. 4). El valor de β, exponente de la curva de gasto (ver definición en la Tabla 1), se fijó en β = 1,5 (Col. 5), debido a que este valor constituye un valor central en el rango de variabilidad usual en la práctica (1,33-1,67).

Las observaciones específicas sobre los coeficientes de difusión y dispersión son las siguientes:

  • La difusión (Col. 9) aumenta con el aumento del caudal unitario, es decir, con el aumento de uo y/o yo (Cols. 2 y 3).

  • La difusión (Col. 9) aumenta con la disminución de la pendiente (Col. 4).

  • La dispersión (Col. 10) aumenta con el aumento del caudal unitario, es decir, con el aumento de uo y/o yo (Cols. 2 y 3).

  • La dispersión (Col. 10) aumenta con la disminución de la pendiente (Col. 4).

  • Los coeficientes adimensionales (Cols. 11, 12 y 13) son independientes de la pendiente.


Tabla 3.  Resultados del programa ONLINEDISPERSIVITY (https://ponce.sdsu.edu/onlinedispersivity.php).
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
Line uo
(m/s)		 yo
(m)		 So
(m/m)		 β F V c
(m/s)		 ν
(m2/s)		 η
(m3/s)		 c' ν' η'
1 1 1 0.01 1.5 0.32 0.16 1.5 4.97 248.34 1.5 0.49 0.025
2 1 1 0.001 1.5 0.32 0.16 1.5 49.7 24834. 1.5 0.49 0.025
3 1 1 0.0001 1.5 0.32 0.16 1.5 497. 2483475. 1.5 0.49 0.025
4 2 2 0.01 1.5 0.45 0.225 3.0 38.69 3870. 1.5 0.47 0.048
5 2 2 0.001 1.5 0.45 0.225 3.0 386.9 386964. 1.5 0.47 0.048
6 2 2 0.0001 1.5 0.45 0.225 3.0 3869. 38696497. 1.5 0.47 0.048
7 4 4 0.01 1.5 0.64 0.32 6.0 292.94 58585. 1.5 0.45 0.092
8 4 4 0.001 1.5 0.64 0.32 6.0 2929.4 5858924. 1.5 0.45 0.092
9 4 4 0.0001 1.5 0.64 0.32 6.0 29294. 585892404. 1.5 0.45 0.092

Epílogo

Una ecuación diferencial parcial de tercer orden, de convección-difusión-dispersión de caudales de avenida (Ferrick y otros, 1984), se utiliza como base para el desarrollo de una ecuación adimensional de convección-difusión-dispersión. Esta ecuación revela que sus tres coeficientes son funciones únicamente de los números de Froude y Vedernikov, reconocidos como los dos pilares del flujo unidimensional no permanente en canales abiertos (Ponce, 2024). El programa ONLINEDISPERSIVITY (https://ponce.sdsu.edu/onlinedispersivity.php) establece el orden de magnitud de la difusión (segundo orden) y la dispersión (tercer orden) en el flujo no permanente en canales abiertos.

Referencias

Chow, V. T. 1959. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill, Inc, New York, NY.

Ferrick, M. G., J. Bilmes, y S. E. Long. 1984. Modeling rapidly varied flow in tailwaters. Water Resources Research, 20 (2), 271-289.

Fread, D. L. 1985. "Channel Routing," in Hydrological Forecasting, M. G. Anderson and T. P. Burt, eds. New York: John Wiley.

Hayami, I. 1951. On the propagation of flood waves. Bulletin, Disaster Prevention Research Institute, No. 1, December.

Lighthill, M. J. y G. B. Whitham. 1955. On kinematic waves. I. Flood movement in long rivers. Proceedings, Royal Society of London, Series A, 229, 281-316.

Ponce, V. M. y D. B. Simons. 1977. Shallow wave propagation in open channel flow. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 103(12), December, 1461-1476.

Ponce, V. M. 2014a. Fundamentals of Open-channel Hydraulics. Online textbook.
ponce.sdsu.edu/openchannel/index.html

Ponce, V. M. 2014b. Engineering Hydrology: Principles and Practices. Online textbook.
ponce.sdsu.edu/enghydro/index.html

Ponce, V. M. 2014c. Engineering Hydrology: Principles and Practices. Online textbook.
ponce.sdsu.edu/enghydro/engineering_hydrology_09.php#kinematic.html

Ponce, V. M. 2020. A dimensionless convection-diffusion-dispersion equation of flood waves. Online article. ponce.sdsu.edu/dimensionless_convection_diffusion_dispersion_equation.html

Ponce, V. M. 2023. The states of flow. Online article. ponce.sdsu.edu/the_states_of_flow.html

Ponce, V. M. 2024. Froude and Vedernikov: Pillars of open-channel hydraulics. Online article.
ponce.sdsu.edu/froude_and_vedernikov_pillars_of_open_channel_hydraulics.html

Saint-Venant, B. de. 1871. Theorie du mouvement non-permanent des eaux avec application aux crues des rivieres et l' introduction des varees dans leur lit, Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Academie des Science, Paris, France, Vol. 73, 1871, 148-154.

Seddon, J. A. 1900. River hydraulics. Transactions, ASCE, Vol. XLIII, 179-243, June.

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